一、 单选题 (本大题共10小题，每题3分，共30分)

1. 已知函数 $y=\ln(2x+1)$，则 $y$ 的定义域是（ ）。
   A. $[0, +\infty)$ B. $(0, +\infty)$ C. $[-\frac{1}{2}, +\infty)$ D. $(-\frac{1}{2}, +\infty)$
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   答案：D 解析：对数函数的真数必须大于0，即 $2x+1 > 0$，解得 $x > -\frac{1}{2}$。故选 D。
2. 已知函数 $y = \frac{x^2-4}{x-2}$，则 $x=2$ 是该函数的（ ）间断点。
   A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 震荡间断点
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   答案：A 解析：$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$。极限存在，但函数在 $x=2$ 处无定义，故为可去间断点。
4. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，则不定积分 $\int f(x)dx$ 是（ ）。
   A. $-\frac{1}{x^2} + C$ B. $\ln|x| + C$ C. $\ln x + C$ D. $x + C$
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   答案：B 解析：基本积分公式 $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$。
5. 不定积分 $\int \frac{1}{x+1} dx$ 的值为（ ）。
   A. $2(x+1)^2 + C$ B. $\ln(x+1) + C$ C. $\ln|x+1|$ D. $\ln|x+1| + C$
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   答案：D 解析：$\int \frac{1}{x+1} dx = \int \frac{1}{x+1} d(x+1) = \ln|x+1| + C$。注意不定积分必须加常数 C。
6. 定积分 $\int_0^1 x\sqrt{x} dx$ 的结果为（ ）。
   A. 0 B. 1 C. $\frac{2}{5}$ D. $\frac{2}{3}$
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   答案：C 解析：原式 $= \int_0^1 x \cdot x^{\frac{1}{2}} dx = \int_0^1 x^{\frac{3}{2}} dx = [\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}]_0^1 = \frac{2}{5} \times 1 - 0 = \frac{2}{5}$。
8. 已知二元函数 $z = x^4 + y^4 - 4x^2y^2$，则该函数的二阶偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} =$ （ ）。
   A. $-8xy$ B. $12x^2 - 16xy$ C. $12y^2 - 16xy$ D. $-16xy$
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   答案：D 解析：先求 $\frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 - 8xy^2$。再对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial}{\partial y}(4x^3 - 8xy^2) = 0 - 8x(2y) = -16xy$。
10. 下列无穷级数收敛的是（ ）。
    A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}$ C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
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    答案：A 解析：这些都是 P-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 的形式。当 $p > 1$ 时级数收敛，当 $p \le 1$ 时发散。A 选项 $p=2>1$，故收敛。B、C 选项 $p=1$ 发散，D 选项 $p=1/2$ 发散。

二、 填空题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分)

11. 极限 $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{3x})^x =$ $e^{-1/3}$。 查看解析
    解析：利用重要极限 $\lim (1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}} = e$。原式 $= \lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{-1}{3x})^{-3x}]^{-\frac{1}{3}} = e^{-\frac{1}{3}}$。
14. 已知函数 $y = e^{2x} + \ln 2$，则 $\frac{d^2y}{dx^2} =$ $4e^{2x}$。 查看解析
    解析：一阶导数 $y' = 2e^{2x} + 0 = 2e^{2x}$。二阶导数 $y'' = 2 \cdot (e^{2x})' = 2 \cdot 2e^{2x} = 4e^{2x}$。
17. 定积分 $\int_0^1 f(x)dx = 1$，且 $f(1)=0$，则 $\int_0^1 x f'(x) dx =$ -1。 查看解析
    解析：利用分部积分法。$\int_0^1 x f'(x) dx = \int_0^1 x d[f(x)] = [x f(x)]_0^1 - \int_0^1 f(x) dx$。
    代入已知条件：$= (1 \cdot f(1) - 0 \cdot f(0)) - 1 = (0 - 0) - 1 = -1$。
18. 已知 $\mathbf{a} = (2,1,-1)$, $\mathbf{b} = (1,3,2)$，则 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =$ 3。 查看解析
    解析：向量点积公式 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 2\times1 + 1\times3 + (-1)\times2 = 2 + 3 - 2 = 3$。
19. 已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2$，则通解 $y =$ $x^3 + C$。 查看解析
    解析：分离变量积分，$dy = 3x^2 dx \Rightarrow y = \int 3x^2 dx = x^3 + C$。
20. 若 $u_n > 0$，且交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} u_n =$ 0。 查看解析
    解析：根据莱布尼茨判别法（交错级数收敛判别法），级数收敛的必要条件之一是通项的绝对值趋于0。

三、 计算题 (本大题共6小题，21-26每小题5分，共30分)

21. 计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+4}{3x^2+2x-1}$ 查看解析
    解析：这是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限。分子分母同时除以最高次项 $x^2$：
    原式 $= \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4}{x^2}}{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}$
    当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$。
    $= \frac{2+0}{3+0-0} = \frac{2}{3}$。
22. 计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{1-\cos x}$ 查看解析
    解析：利用等价无穷小代换。
    当 $x \to 0$ 时，$(1+x^2)^{\frac{1}{2}} - 1 \sim \frac{1}{2}x^2$。
    $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$。
    原式 $= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{\frac{1}{2}x^2} = 1$。
23. 求函数 $y = x^3 + 6x^2 - 15x + 2$ 的极值。 查看解析
    解析：
    1. 求导：$y' = 3x^2 + 12x - 15$。
    2. 令 $y' = 0$，化简得 $3(x^2 + 4x - 5) = 3(x+5)(x-1) = 0$。
    3. 得到驻点 $x_1 = -5, x_2 = 1$。
    4. 列表判断或使用二阶导数：$y'' = 6x + 12$。
    $y''(-5) = -30 + 12 < 0$，故 $x=-5$ 处取极大值，极大值为 $f(-5) = 102$。
    $y''(1) = 6 + 12 > 0$，故 $x=1$ 处取极小值，极小值为 $f(1) = -6$。
24. 已知方程 $xy + e^y = x^2 + 1$ 确定了函数 $y=f(x)$，求 $\frac{dy}{dx}$。 查看解析
    解析：隐函数求导。方程两边同时对 $x$ 求导：
    $(y + xy') + e^y \cdot y' = 2x + 0$
    $y' (x + e^y) = 2x - y$
    $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-y}{x+e^y}$
25. 计算不定积分 $\int 2x \ln x dx$ 查看解析
    解析：使用分部积分法。
    令 $u = \ln x, dv = 2x dx$，则 $du = \frac{1}{x} dx, v = x^2$。
    原式 $= x^2 \ln x - \int x^2 \cdot \frac{1}{x} dx$
    $= x^2 \ln x - \int x dx$
    $= x^2 \ln x - \frac{1}{2}x^2 + C$
26. 设 $f(x) = \begin{cases} 1+x^2, & x \le 0 \\ e^x, & x > 0 \end{cases}$，计算定积分 $\int_{-1}^1 f(x) dx$。 查看解析
    解析：根据分段函数分区间积分：
    $\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^0 (1+x^2) dx + \int_0^1 e^x dx$
    第一部分：$[x + \frac{1}{3}x^3]_{-1}^0 = 0 - (-1 - \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$
    第二部分：$[e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$
    总和：$\frac{4}{3} + e - 1 = e + \frac{1}{3}$。
    (注：真题参考答案可能因印刷模糊显示为 $e-1/3$，但根据 $1+x^2$ 的计算结果应为 $e+1/3$)

四、 综合题 (本大题共1小题，共10分)

27. 已知曲线 $y = \sqrt{x}$。
    (1) 求曲线在点 $(1,1)$ 处的切线方程；
    (2) 求该曲线与直线 $y=1$ 及 $y$ 轴所围成平面图形的面积。 查看解析
    解析：
    (1) 切线方程：
    $y = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。
    在点 $(1,1)$ 处，切线斜率 $k = y'|_{x=1} = \frac{1}{2}$。
    根据点斜式 $y - y_0 = k(x - x_0)$：
    $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$。
    
    (2) 平面图形面积：
    围成的区域为 $y$ 轴 ($x=0$)，直线 $y=1$ 和曲线 $y=\sqrt{x}$ 之间。
    在区间 $[0,1]$ 上，直线 $y=1$ 在曲线 $y=\sqrt{x}$ 上方。
    $S = \int_0^1 (1 - \sqrt{x}) dx$
    $= [x - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^1$
    $= (1 - \frac{2}{3}) - 0 = \frac{1}{3}$。